Tip:
Highlight text to annotate it
X
Fibracija... nastavak
Vratimo se dvo-dimenzionalnoj sferi i njenim paralelama.
Iznad svake tačke ove sfere
zamislimo Hopfovu kružnicu.
Pogledajmo šta se nalazi iznad jedne od paralela sfere S²,
na primer ekvatora.
Evo šta se nalazi iznad paralele
koja je južno od ekvatora.
Zašto se čini da se torus sužava?
Zato što iznad južnog pola
postoji samo jedna kružnica.
A iznad severnog pola se vidi samo jedna prava,
zapravo krug koji teži beskonačnosti. Prikazan crvenom linijom.
Sada ćemo to sve zavrtiti.
Rotacija, da ali
rotacija u 4-dimenzionalnom prostoru.
Da budem iskren, moram priznati da su neke od ovih slika
bile poznate mnogo pre mene.
Postojanje četiri porodice krugova na torusu
se obično pripisuje Markizu de Vilarsu,
ali se mogu naći i raniji tragovi,
na primjer na skulpturi u Strazburškoj katedrali.
Pogledajmo standardni torus:
to je obrtna površ koju opisuje kružnica
dok se rotira oko ose u istoj ravni.
Presecimo torus sa ravni.
Obratite pažnju na to koju sam ravan odabrao.
Kaže se da je to bitangenta na torus,
zato što je to tangenta u dve tačke.
Pogledajmo pobliže:
ravan seče torus duž dve savršene kružnice.
To je Vilarseova teorema: ravan koja je bitangenta
torusa, seče ga duž dve savršene kružnice.
Naravno, to nije jedina bitangentna ravan.
Evo još jedne, koja seče torus duž druge dve Vilarseove kružnice.
Isto možemo učiniti i za druge bitangentne ravni:
trebamo samo rotirati oko ose simetrije.
Vidite, kroz svaku tačku standardnog torusa
možemo iscrtati četiri kružnice,
koje dobijamo odgovarajućim odsečcima.
Jedna od ovih kružnica je paralela,
druga je meridijan,
zatim prva Vilarseova kružnica,
a onda i druga.
Pošto se to može učiniti u svakoj tački torusa,
primećujemo da je torus prekriven sa četiri porodice kružnica.
dve kružnice iste porodice se nigde ne seku.
Plava kružnica seče crvenu u samo jednoj tački.
A žuta kružnica seče belu u dve tačke:
to su Vilarseove kružnice.
Pažljivo pogledajte žute kružnice:
to su Hopfove kružnice.
Sećate se kako smo razmatrali
šta je iznad paralela u fibraciji?
Videli smo torus prekriven povezanim kružnicama,
baš kao što je ovaj torus prekriven žutim kružnicama.
A šta je sa belim kružnicama?
To su vlakna druge Hopfove fibracije!
Kao da prethodnu gledamo u ogledalu.
Za kraj našeg izleta,
uzećemo standardni torus,
sa svoje četiri porodice kružnica,
zamislićemo ga u 3-dimenzionalnoj sferi,
zatim rotirati ga unutar te sfere,
te ga konačno stereografski
projektovati na 3-dimenzionalni prostor.
Na ovaj način dobijamo površi
koje su također prekrivene sa četiri porodice kružnica:
takozvani Dipanovi ciklidi.
Povremeno, kada torus prođe kroz pol sa kojega projektujemo,
površ teži ka beskonačnosti...
Kroz takvo kretanje, dva lica se mogu i zameniti.
Unutrašnje lice je roza boje, a vanjsko zelene boje.
Jednostavna rotacija u četiri dimenzije i... pogodak!
Zeleno se pretvara u roza, a roza u zeleno.
Veličanstveno, zar ne?