Tip:
Highlight text to annotate it
X
Kompleksni brojevi
Ja sam Adrien Duadi.
Celi moj radni vek je bio
koncentrisan na kompleksne brojeve.
Moji doprinosi su pomogli napretku algebarske geometrije
i teorije dinamičkih sistema.
Kompleksni brojevi imaju dugu istoriju.
Ovdje, na levoj strani, vidite Tartalju i Kardana,
matematičare pionire koji su živeli za vreme renesanse.
Desno, vidite Košija i Gausa,
koji su utvrdili teoriju u 19. veku.
Kompleksni brojevi zapravo i nisu komplikovani,
kao što bi vas naziv mogao navesti da pomislite.
U početku su bili nazivani "nemogući brojevi",
a čak se i danas ponekad nazivaju "imaginarnim".
Tačno je da je potrebno malo mašte...
Ali danas su ti brojevi posvuda u nauci,
te više uopšte nisu misteriozni.
Zahvaljujući njima, mogu se
konstruisati prelepi fraktalni sklopovi,
nešto na čemu sam ja mnogo radio.
Čak sam napravio i film "Dinamika zeca",
što je bio jedan od prvih animiranih filmova u matematici.
Počeću objašnjavanje kompleksnih brojeva na tabli.
Matematičari naprosto obožavaju pisati kredom...
Ubrzo ćete videti kako se moj lenjir, T-lenjir i uglomer
ponekada ponašaju poprilično čudno...
Iscrtaćemo gradiranu liniju na tabli.
Jedna od najepših ideja u matematici
je spajanje geometrije i algebre.
To je početna tačka algebarske geometrije.
Kao što možemo dodavati brojeve, možemo dodavati i tačke.
Evo jedne crvene tačke na liniji, i jedne plave tačke.
Hajdemo sabrati ove dve tačke.
Dobijamo zelenu tačku! Jedan plus dva je jednako tri!
Kada se crvena i plava tačka pomeraju,
i zelena tačka, koja predstavlja njihov zbir, se mora pomerati.
Još interesantnije je množenje tačaka.
Pogledajmo, na primer, množenje sa brojem -2.
Ono transformira tačku 1 u tačku -2.
A ako je opet pomnožimo sa -2,
morate opet uraditi istu stvar:
promeniti stranu u odnosu na tačku početka,
te udvostručiti udaljenost od početka.
Tako da se dobije 4.
Ako dvaput pomnožimo sa -2
zapravo smo pomnožili sa 4.
Množenje sa -1 je vrlo jednostavno.
Svaka tačka se menja u svoju simetričnu tačku
u odnosu na tačku koordinatnog početka.
Drugim rečima, mi napravimo polukrug,
rotaciju za 180 stepeni.
Kada neki broj pomnožimo sa samim sobom,
rezultat je uvek pozitivan broj.
Na primjer, ako pomnožimo sa -1,
napravimo pola kruga,
tako da, ako to radimo još jednom,
pa... doći ćemo opet u tačku od koje smo i počeli!
Upravo zato -1 puta -1 iznosi +1,
poprilično jednostavno.
Vidite na primjer da množenje sa -1
transformiše 2 u -2,
te ako to još jednom pomnožimo sa -1,
opet se vraćamo na 2.
Očigledno, zar ne?
Stoga, ne postoji broj koji
pomnožen sa samim sobom daje -1.
Drugi način da to kažemo je da -1 nema kvadratni koren.
Ali naravno, podcjenjujemo
snalažljivost matematičara!
Početkom 19. veka, Robert Argand je imao odličnu ideju.
On je sam sebi rekao: "Budući da je množenje sa -1
rotacija za 180 stepeni, onda je
njegov koren, rotacija za polovinu od 180 stepeni: 90 stepeni.
Ako napravim dva četvrt-kruga, jedan iza drugog,
ukupno ću napraviti polu-krug!
Kvadrat četvrt-kruga je polu-krug, dakle minus jedan."
Lako je kada znate kako!
Argand je odlučio, da je kvadratni koren od minus jedan
tačka gde 1 završi nakon rotacije od 90 stepeni.
Naravno, to nas tera da napustimo svoju vodoravnu pravu,
jer smo se upravo složili da dodelimo broj
tački koja nije na liniji!
Budući da je ova konstrukcija pomalo neobična,
tu tačku, kvadratni koren od -1, nazivamo
imaginarnim brojem, a označavamo ga sa i.
Ali, kada smo već stekli hrabrosti da napustimo liniju,
sve ostalo je jednostavno.
Možemo predstaviti 2i, 3i, itd...
Svaka tačka u ravni predstavlja kompleksni broj
i obrnuto, svaki kompleksni broj predstavlja tačku u ravni.
Tačke u ravni postaju jedinstven broj!
Ovi brojevi se mogu sabirati, kao i obični brojevi.
Pogledajte crvenu tačku, koja je tačka 1+2i.
Dodajmo joj 3+i, što je plava tačka.
Ako ih saberete,
kako to osnovci rade,
dobićete 4+3i.
Geometrijski, to predstavlja dodavanje vektora.
Vidite, da uopšte nije teško sabirati kompleksne brojeve.
Mnogo interesantnije je,
da se ovi brojevi mogu množiti,
baš kao pravi brojevi.
Na primjer.
Znamo kako se kompleksni broj množi sa 2.
2 puta 1+i daje
2+2i.
Geometrijski, množenje sa dva je lako:
To je vektor čiju smo veličinu udvostručili:
Ako udvostručimo crvenu tačku, dobijamo zelenu tačku!
Množenje sa i je također lako,
s obzirom da znamo da predstavlja četvrt-krug.
Da bismo 3+i pomnožili sa i,
moramo ga samo rotirati za četvrtinu kruga.
Dobijamo -1+3i.
Nisu toliko komplikovani, ovi kompleksni brojevi!
I konačno, možemo pomnožiti bilo koja dva kompleksna broja
bez ikakvih problema.
Pokušajmo, na primjer, pomnožiti 2+1.5i i -1+2.4i .
Počinjemo uobičajeno,
Prvo pomnožimo sa 2, a onda sa 1.5i, te saberemo dobijeno.
Stoga dobijamo:
"2 što množi..."
Što daje
-2 + 4.8i - 1.5i + 3.6i×i
Ali, setite se da je i na kvadrat zapravo -1,
jer smo zbog toga izmislili i!
To daje:
-2 + 4.8i - 1.5i -3.6 .
Sredimo to malo... dobijamo:
-2 -3.6 + 4.8i - 1.5i,
što je na kraju:
-5.6 + 3.3i .
Eto, sada znamo kako
pomnožiti dva kompleksna broja,
drugim rečima, znamo množiti tačke u ravni!
Zapanjujuće!
Mislili smo da je ravan dvo-dimenzinalna,
jer su nam potrebna dva broja
da lociramo tačku,
a sada vam ja govorim, da je samo jedan broj dovoljan!
Naravno, promenili smo naše brojeve
pa se sada bavimo kompleksnim brojevima!
Sada je dobar momenat da definišemo dva pojma.
Modul i argument kompleksnog broja.
Modul kompleksnog broja z je udaljenost od
koordinatnog početka do tačke koju predstavlja broj z.
Iskoristimo lenjir da odredimo modul crvene tačke,
koja je 2+1.5i .
Pogledajmo, lenjir meri 2.5 .
Moduo od 2+1.5i, je 2.5 .
Za plavu tačku, dobijamo 2.6 .
A za zelenu tačku,
koja je proizvod prethodne dve,
dobijamo 6.5 .
Koje je pravilo? Modul proizvoda dva kompleksna broja
je proizvod modula ta dva broja.
Argument kompleksnog broja
je ugao između apscise
i linije koja spaja koordinatni početak sa tačkom.
Ovde, na primer, argument kompleksnog broja u crvenoj tački
je 36.8 stepeni.
Argument plave tačke je 112.6 stepeni.
A za proizvod, zelenu tačku, dobijamo 149.4 stepena,
što je zbir argumenata dva prethodna broja...
Kada pomnožimo dva kompleksna broja,
moduli se množe, a argumenti sabiru.
Okončajmo naš prvi susret sa kompleksnim brojevima
sa jednom sterografskom projekcijom.
Razmotrimo sferu koja je tangenta na tablu u koordinatnom početku.
Koristeći stereografsku projekciju,
svaka tačka na tabli,
odn. svaki kompleksni broj,
ima odgovarajuću tačku na kugli.
Samo severni pol kugle,
tačnije, pol sa kojega ja projektujem,
nema pridruženog kompleksnog broja.
Kažemo da on predstavlja beskonačnost.
Zato matematičari kažu da je sfera
kompleksna projektivna linija.
Zašto linija?
Jer je potreban samo jedan broj da bi se opisale sve njene tačke!
Zašto kompleksna?
Zato što je taj broj kompleksan.
Zašto projektivna?
Zato što smo pridružili tačku beskonačnosti, koristeći projekciju.
Pa zar nisu matematičari čudni
kad nam kažu da je sfera samo prava linija?